Evidential Reasoning Rule for Evidence Combination
关键词：Dempster-Shafer theory，Information fusion（信息融合），Evidence Combination，Evidential Reasoning（证据推理）。
ER: evidential reasoning
BPA: basic probability assignment function 基本概率赋值函数
ECR: evidence combination rule
BD: belief distribution （信念分布，不严谨的说等同于概率分布）
WBD: weighted belief distribution
WBDR: weighted belief distribution with reliability
orthogonal sum operation（正交和）:
propositions（命题），evidence（证据）。二者的关系：有一些证据，推断命题的真假。
power set（幂集）：一个集合所有子集所构成的集合。
1. D-S theory
D-S theory首先由哈佛大学Dempster教授于1967年提出；在1976年由Dempster学生Shafer进一步拓展，形成了D-S theory。由于在证据理论中需要的先验数据比概率推理理论中的更为直观、更容易获得，再加上Dempster合成公式可以综合不同专家或数据源的知识或数据，这使得证据理论在专家系统、信息融合等领域中得到了广泛应用。
先来介绍一个情景，介绍这个理论到底是干啥的。某天夜里，一个小区里发生了一起偷盗案，要找出窃贼是谁。经过一番排查锁定了三个嫌疑人：张三，李华，王五；与此同时还有三个人证：小明说是张三干的，小杰说是李华干的，小雪说是王五干的。问如何利用这三个证词找出窃贼？
上述案例中的三个嫌疑人构成了一个集合$\Theta=\{\theta_1,\theta_2,\theta_3\}$，称集合$\Theta$为一个辨识框架（a framework of discernment），$\theta_i$被称为一个命题（proposition）或者假设（hypothesis）。这些命题需要满足mutually exclusive and collectively exhaustive principle（相互独立、完全穷尽原则，简称MCME）。单个命题通常称为 singleton。
三个人证对应三个基本概率赋值函数（BPA），针对$\Theta$中每个子集（subset）概率赋值函数（也称为mass函数）需要给出一个值，表明这个子集对最终答案的信念度（ degree of belief）。
在$\Theta$上的基本概率赋值函数 $m$ 定义如下：
集合$\Theta$的幂集：$2^{\Theta}$ 或者记为 $P(\Theta)$。可知：$\theta\in2^{\Theta}\Leftrightarrow\theta\subseteq\Theta$。
当有多个概率赋值函数时，就需要考虑如何对其进行结合。
2. Typical Evidence Combination Rules
2.1 Dempster’s rule
假设有 $2$ 个概率赋值函数 $m_1,m_2$，关于某一命题$\theta$，Dempeter’s rule定义融合规则如下：