多元高斯及其极大似然估计

多元高斯及其极大似然估计

参考：https://blog.csdn.net/Joyliness/article/details/80097491

1. 独立多元高斯的概率密度函数

$n$个独立的随机变量$(x_1,x_2,…x_n)$的联合密度函数为

$$f_{\mu,\Sigma}(\pmb x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det\Sigma}}e^{-\frac{1}{2}(\pmb x - \pmb \mu)^T\Sigma^{-1}(\pmb x - \pmb \mu)}$$

就是多元高斯分布（Multivariate Normal Distribution，MVN）。其中，$\pmb \mu$是各个随机变量的期望值所组成的向量，$\Sigma$是随机变量间的协方差矩阵，是$n \times n$的正定矩阵。

2. 多元高斯的极大似然估计

对于$N$个满足多元高斯分布的独立样本集：$\{\pmb x_1,\pmb x_2,..,\pmb x_N\},\pmb x \in \mathbb{R}^n$，似然函数为：

$$\prod_{i=1}^Nf_{\mu,\Sigma}(\pmb x_i) = (2\pi)^{-\frac{Nn}{2}}|\Sigma|^{-\frac{N}{2}}e^{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(\pmb x_i - \pmb \mu)^T\Sigma^{-1}(\pmb x_i - \pmb \mu)}$$

取对数：

$$\ln L(\pmb \mu,\Sigma) =\ln\prod_{i=1}^Nf_{\mu,\Sigma}(\pmb x_i) =-\frac{Nn}{2}\ln2\pi -\frac{N}{2}\ln |\Sigma| - \sum_{i=1}^N(\pmb x_i - \pmb \mu)^T\Sigma^{-1}(\pmb x_i - \pmb \mu)\\ =C - \frac{N}{2}\ln |\Sigma| - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(\pmb x_i - \pmb \mu)^T\Sigma^{-1}(\pmb x_i - \pmb \mu)$$

其中$C = -\frac{Nn}{2}\ln2\pi$是一个与参数$\pmb \mu,\Sigma$ 无关的常数，因此：

$$arg\max_{\pmb \mu,\Sigma}\ln\prod_{i=1}^Nf_{\mu,\Sigma}(\pmb x_i)$$

• $\ln L(\pmb \mu,\Sigma)$对$\pmb \mu$求偏导（标量对向量求偏导）

先将$\sum_{i=1}^N(\pmb x_i - \pmb \mu)^T\Sigma^{-1}(\pmb x_i - \pmb \mu)$展开，得到：

$$\sum_{i=1}^N\pmb x_i^T\Sigma^{-1}\pmb x_i - 2\sum_{i=1}^N\pmb x^T\Sigma^{-1}\pmb \mu + N\pmb \mu^T\Sigma^{-1}\pmb \mu$$

后两项对$\pmb \mu$求偏导得到：

$$-2\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}\pmb x_i + 2N\Sigma^{-1}\pmb \mu$$

因此：

$$\frac{\partial \ln L(\pmb \mu,\Sigma)}{\partial \pmb \mu} = 2\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}\pmb x_i - 2N\Sigma^{-1}\pmb \mu = 0$$

求得：

$$\bar{\pmb \mu} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \pmb x_i$$

• $\ln L(\pmb \mu, \Sigma)$对$\Sigma$求偏导（标量对矩阵求偏导）

tips：$\frac{\partial \det(X)}{\partial X } = \det (X)tr(X^{-1})$

$$\frac{\partial -\frac{N}{2}\ln \det(\Sigma)}{\partial \Sigma} = -\frac{N}{2}tr(X^{-1})$$ $$\frac{\partial \ln L(\pmb \mu, \Sigma)}{\partial \Sigma} = 0$$

解得：

$$\bar \Sigma = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(\pmb x_i - \bar{\pmb \mu})(\pmb x_i - \bar{\pmb \mu})^T$$